Giải tích Ví dụ

$y = x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x \cos (5 x) - \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [x \cos (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \cos (5 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 x$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$x (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.3

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.6

Nhân $5$ với $1$ .

$x (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.7

Nhân $5$ với $- 1$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.2.8

Nhân $\cos (5 x)$ với $1$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \sin^{2} (x)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (x)$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (x)$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Bước 1.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - (2 \sin (x) \cos (x))$

Bước 1.3.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) - 2 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 5 x \sin (5 x) - 2 \cos (x) \sin (x) + \cos (5 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x \sin (5 x)$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (5 x)$ .

$- 5 (x \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $5 x$ .

$- 5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.3.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$- 5 (x (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $5 x$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.7

Nhân $5$ với $1$ .

$- 5 (x (\cos (5 x) \cdot 5) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.8

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $\cos (5 x)$ .

$- 5 (x (5 \cdot \cos (5 x)) + \sin (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.2.9

Nhân $\sin (5 x)$ với $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x) \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 \cos (x) \sin (x)$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.4

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.6

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.8

Cộng $1$ và $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.9

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.10

Nâng $\sin (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.3.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 5 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $5 x$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 2.4.1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 2.4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $5 x$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

Bước 2.4.2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) (5 \cdot 1)$

Bước 2.4.4

Nhân $5$ với $1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - \sin (5 x) \cdot 5$

Bước 2.4.5

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 5 (x (5 \cos (5 x)) + \sin (5 x)) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

Bước 2.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 5 (x (5 \cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

Bước 2.5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Nhân $5$ với $- 5$ .

$- 25 (x (\cos (5 x))) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 (- \sin^{2} (x)) - 5 \sin (5 x)$

Bước 2.5.3.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- 25 x \cos (5 x) - 5 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 5 \sin (5 x)$

Bước 2.5.3.3

Trừ $5 \sin (5 x)$ khỏi $- 5 \sin (5 x)$ .

$f'' (x) = - 25 x \cos (5 x) - 10 \sin (5 x) - 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)$