Giải tích Ví dụ

${(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(x + 2)}^{5}$ và $g (x) = {(x - 3)}^{4}$ .

${(x + 2)}^{5} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{4}] + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x - 3$ .

${(x + 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

${(x + 2)}^{5} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 3$ .

${(x + 2)}^{5} (4 {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(x + 2)}^{5}$ .

$4 \cdot {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 3] + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 3.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} (1 + 0) + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} \cdot 1 + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 3.5.2

Nhân $4$ với $1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{5}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + 2$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 2$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + {(x - 3)}^{4} (5 {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của ${(x - 3)}^{4}$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 \cdot {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 5.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} (1 + 0)$

Bước 5.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4} \cdot 1$

Bước 5.5.2

Nhân $5$ với $1$ .

$4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$

Bước 5.5.3

Đưa ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ ra ngoài $4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3} + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Đưa ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ ra ngoài $4 {(x + 2)}^{5} {(x - 3)}^{3}$ .

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + 5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$

Bước 5.5.3.2

Đưa ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ ra ngoài $5 {(x - 3)}^{4} {(x + 2)}^{4}$ .

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + {(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (5 (x - 3))$

Bước 5.5.3.3

Đưa ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3}$ ra ngoài ${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2)) + {(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (5 (x - 3))$ .

${(x + 2)}^{4} {(x - 3)}^{3} (4 (x + 2) + 5 (x - 3))$