Giải tích Ví dụ

$f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{3}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$- (3 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 6.2

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 6.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int \frac{4}{x^{3}} d x$

Bước 8

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 9

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 9.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 9.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 \int x^{- 3} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Bước 11.1.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Bước 11.2

Rút gọn.

$- 3 (- \frac{1}{x}) + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$3 \frac{1}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Bước 11.3.2

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Bước 11.3.3

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{3}{x} - 4 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Bước 11.3.4

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 4}{2 x^{2}} + C$

Bước 11.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Bước 11.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} + C$

Bước 11.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3}{x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} + C$

Bước 11.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{x} + \frac{- 2}{x^{2}} + C$

Bước 11.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = - \frac{3}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{x} - \frac{2}{x^{2}} + C$