Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 4

Chia $x^{3}$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 4.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 4.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 4.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + 0 + x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 4.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Bước 4.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Bước 4.7

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 9

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 9.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 9.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 9.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 10.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 12

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Bước 13

Rút gọn.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$