Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Bước 1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 2.5.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 2.5.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

Bước 2.5.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

Bước 2.5.1.5

Tính số mũ.

$u_{upper} = 1 + 3$

Bước 2.5.2

Cộng $1$ và $3$ .

$u_{upper} = 4$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

Bước 7

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $4$ và tại $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.5

Nhân $2$ với $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 8.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

Bước 8.2.7

Nhân $2$ với $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 8.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

Bước 8.2.9

Trừ $2$ khỏi $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

Bước 8.2.10

Kết hợp $3$ và $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Bước 8.2.11

Nhân $3$ với $14$ .

$\frac{42}{3}$

Bước 8.2.12

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

Bước 8.2.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

Bước 8.2.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

Bước 8.2.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{14}{1}$

Bước 8.2.12.2.4

Chia $14$ cho $1$ .

$14$

Bước 9