Giải tích Ví dụ

$f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 1.1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 1.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.1.1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.1.1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 1.1.1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 1.1.1.2.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))$

Bước 1.1.1.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.1.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.1.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.1.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.1.2.9.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.1.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.1.2.11

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1)$

Bước 1.1.1.2.12

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1)$

Bước 1.1.1.2.13

Nhân $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ với $1$ .

$1 + 3 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 1.1.1.2.14

Di chuyển ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.1.2.15

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.1.2.16

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{3}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.1.2.17

Viết lại biểu thức.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Bước 1.1.2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$

Bước 1.1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Viết lại $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ ở dạng ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Bước 1.1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.1.2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.1.2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Bước 1.1.2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.1.2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.1.2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Bước 1.1.2.2.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 1.1.2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Bước 1.1.2.2.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 - {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.7

Nhân các số mũ trong ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.7.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.7.2

Nhân $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.7.2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.7.2.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$0 - {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.8

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.9

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.11.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.11.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Bước 1.1.2.2.13

Cộng $1$ và $0$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1)$

Bước 1.1.2.2.14

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1)$

Bước 1.1.2.2.15

Nhân $\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ với $1$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 1.1.2.2.16

Di chuyển ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.1.2.2.17

Kết hợp $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ và ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Bước 1.1.2.2.18

Di chuyển ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Bước 1.1.2.2.19

Nhân ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ với ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.19.1

Di chuyển ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$0 - \frac{2}{3 ({(x - 1)}^{\frac{4}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}$

Bước 1.1.2.2.19.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Bước 1.1.2.2.19.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Bước 1.1.2.2.19.4

Cộng $4$ và $1$ .

$0 - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 1.1.2.3

Trừ $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Bước 1.2.3

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 2

Tìm tập xác định của $f (x) = x + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$x + 3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}$

Bước 2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$x + 3 \sqrt[3]{x - 1}$

Bước 2.2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Đồ thị lồi vì đạo hàm bậc hai âm.

Đồ thị có dạng lồi

Bước 4