Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x^{4} + 1} d x$

Bước 4

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{4})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{3}}{{(x^{4})}^{1} + 1} d x$

Bước 5

Giả sử $u_{1} = x^{4}$ . Sau đó $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{4}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

$\int \frac{1}{u_{1} + 1} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Bước 6.2

Nhân $\frac{1}{u_{1} + 1}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(u_{1} + 1) \cdot 4} d u_{1}$

Bước 6.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u_{1} + 1$ .

$\int \frac{1}{4 (u_{1} + 1)} d u_{1}$

Bước 7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1} + 1} d u_{1}$

Bước 8

Giả sử $u_{2} = u_{1} + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{2} = u_{1} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Bước 8.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{1} + 1$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Bước 8.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 8.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} + 1 |) + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} \ln (| x^{4} + 1 |) + C$