Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + \frac{1 - \cos (x)}{x} + \frac{\tan (x)}{x}$

Bước 1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Bước 1.2

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Bước 1.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Bước 1.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}} + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Bước 2

Vì $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ và $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , sử dụng định lý kẹp.

$2 (\frac{1}{1}) + lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Bước 3

Vì $0 \leq \frac{1 - \cos (x)}{x} \leq \frac{x}{2}$ và $lim_{x \to 0} 0 = lim_{x \to 0} \frac{x}{2} = 0$ , sử dụng định lý kẹp.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 4.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 4.1.2.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 4.1.2.3

Giá trị chính xác của $\tan (0)$ là $0$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Bước 4.1.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Bước 4.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \frac{0}{0}$

Bước 4.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.2

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Bước 4.4

Chia $\sec^{2} (x)$ cho $1$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa số mũ $2$ từ $\sec^{2} (x)$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Bước 5.2

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì secant liên tục.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Bước 6

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{1}{1}) + 0 + \sec^{2} (0)$

Bước 7.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 1 + 0 + \sec^{2} (0)$

Bước 7.1.2

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 0 + \sec^{2} (0)$

Bước 7.1.3

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$2 + 0 + 1^{2}$

Bước 7.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 + 0 + 1$

Bước 7.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2 + 1$

Bước 7.3

Cộng $2$ và $1$ .

$3$