Giải tích Ví dụ

$\int \frac{8 x - 3}{{(4 x^{2} - 3 x)}^{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Sau đó $d u = (8 x - 3) d x$ , nên $\frac{1}{8 x - 3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x^{2} - 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x^{2} - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3 x]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 x - 3 \cdot 1$

Bước 1.1.4.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$8 x - 3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $u^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Bước 2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 4}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ ở dạng $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Bước 4.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Bước 5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2} - 3 x$ .

$- \frac{1}{3 {(4 x^{2} - 3 x)}^{3}} + C$