Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Bước 1

Tính $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $\sin^{2} (x)$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $\sin^{2} (x)$ ra khỏi tích phân.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Bước 1.2

Giả sử $u = \sin (θ)$ . Sau đó $d u = \cos (θ) d θ$ , nên $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Hãy đặt $u = \sin (θ)$ . Tìm $\frac{d u}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Tính đạo hàm $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 1.2.1.2

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Bước 1.2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $θ$ trong $u = \sin (θ)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Bước 1.2.3

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.2.4

Thay giới hạn trên vào cho $θ$ trong $u = \sin (θ)$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Bước 1.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Trừ vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Bước 1.2.5.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{upper} = 0$

Bước 1.2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Bước 1.2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

Bước 1.3

Khai triển $u (\sin (x) - u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại $u$ và $- 1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

Bước 1.3.3

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

Bước 1.3.4

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

Bước 1.3.5

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

Bước 1.3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

Bước 1.3.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

Bước 1.3.8

Sắp xếp lại $u \sin (x)$ và $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

Bước 1.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Bước 1.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Bước 1.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Bước 1.7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Bước 1.8

Vì $\sin (x)$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\sin (x)$ ra khỏi tích phân.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

Bước 1.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

Bước 1.10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Bước 1.11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.1

Tính $\frac{u^{3}}{3}$ tại $0$ và tại $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Bước 1.11.2

Tính $\frac{u^{2}}{2}$ tại $0$ và tại $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.2.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.6

Cộng $0$ và $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.7

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.8

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.9.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Bước 1.11.3.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

Bước 1.11.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

Bước 1.11.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.11.3.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Bước 1.11.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Bước 1.11.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

Bước 1.11.3.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

Bước 1.11.3.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

Bước 1.11.3.13

Cộng $0$ và $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

Bước 1.11.3.14

Nhân $\sin (x)$ với $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

Bước 1.11.3.15

Cộng $0$ và $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

Bước 1.11.3.16

Nhân $\sin^{2} (x)$ với $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

Bước 2

Tính $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0]_{0}^{π}$

Bước 2.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tính $0$ tại $π$ và tại $0$ .

$(0) + 0$

Bước 2.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$0$