Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{e^{x}}$

Bước 1

Viết $\frac{x}{e^{x}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Làm âm số mũ của $e^{x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

Bước 4.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Bước 4.2.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\int x e^{- x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Bước 7.2

Nhân $\int e^{- x} d x$ với $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Bước 8

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 8.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Bước 11

Viết lại $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ ở dạng $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

Bước 13

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$