Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{1}{2} t$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d t$ , nên $2 d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{2} t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Bước 1.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

Bước 1.3

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Bước 1.3.2

Nhân $2$ với $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 π$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Bước 1.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Bước 1.5.3

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Bước 2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

Bước 4

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Bước 5

Tính $- \cot (u)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{3})$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{6})$ là $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Bước 7.2

Nhân $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 7.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.1.2.6.5

Tính số mũ.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

Bước 8.2

Để viết $2 \sqrt{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 8.3

Kết hợp $2 \sqrt{3}$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Bước 8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Bước 8.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

Bước 8.5.2

Cộng $- 2 \sqrt{3}$ và $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Dạng thập phân:

$2.30940107 \dots$