Giải tích Ví dụ

$6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

Bước 1

Viết $6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 6 e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 5

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 6

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 6.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 7

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\frac{6}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 9.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 9.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 9.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$3 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 10

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Bước 11

Giả sử $u_{2} = x + 1$ . Sau đó $d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u_{2} = x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 11.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 11.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 11.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{4}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Bước 13

Rút gọn.

$3 e^{u_{1}} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Bước 14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Bước 14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ .

$F (x) =$ $3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$