Giải tích Ví dụ

$f (x, y) = x + y + x y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

Bước 2

Nhân $f$ với mỗi phần tử của ma trận.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y + x y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

Bước 3.4.4

Nhân $y$ với $1$ .

$1 + y' + x y' + y$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$x y' + y + 1 + y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

Bước 5.2

Rút gọn $\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $d$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

Bước 5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân $x$ với mỗi phần tử của ma trận.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

Bước 5.2.2.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Di chuyển $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

Bước 5.2.2.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

Bước 5.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

Bước 5.3.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Bước 5.4

Đưa $y'$ ra ngoài $x y' + y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $y'$ ra ngoài $x y'$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Bước 5.4.2

Nâng $y'$ lên lũy thừa $1$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Bước 5.4.3

Đưa $y'$ ra ngoài ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Bước 5.4.4

Đưa $y'$ ra ngoài $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ cho $x + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ cho $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Bước 5.5.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Bước 5.5.3.1.2

Nhân $\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ với $\frac{1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Bước 5.5.3.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Bước 5.5.3.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Bước 5.5.3.2

Kết hợp thành một phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Bước 5.5.3.2.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$