Giải tích Ví dụ

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Bước 4

Đưa $\sqrt{x}$ ra ngoài $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $\sqrt{x}$ ra ngoài $x \sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Bước 4.2

Nhân với $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3

Đưa $\sqrt{x}$ ra ngoài $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 5.2.1.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

Bước 5.2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

Bước 5.2.3

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Di chuyển $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Bước 5.2.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Bước 5.2.3.3

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Bước 5.2.3.4

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Bước 5.2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Bước 5.2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.6.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Bước 5.2.3.6.2

Cộng $- 4$ và $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

Bước 5.2.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

Bước 6

Khai triển $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $x^{- \frac{3}{2}}$ và $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 6.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 6.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 6.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 6.7

Cộng $- 3$ và $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 6.8

Nhân $x^{- \frac{3}{2}}$ với $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 11.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$