Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} \ln ({(x)}^{2}) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x^{2})$ và $d v = x^{3}$ .

$\ln (x^{2}) (\frac{1}{4} x^{4}) - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$\ln (x^{2}) \frac{x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\ln (x^{2})$ và $\frac{x^{4}}{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \int \frac{1}{4} x^{4} \frac{2}{x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int x^{4} \frac{2}{x} d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Kết hợp $x^{4}$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x^{4} \cdot 2}{x} d x)$

Bước 4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 \cdot x^{4}}{x} d x)$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{4}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x} d x)$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x^{1}} d x)$

Bước 4.3.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{x (2 x^{3})}{x \cdot 1} d x)$

Bước 4.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int \frac{2 x^{3}}{1} d x)$

Bước 4.3.2.5

Chia $2 x^{3}$ cho $1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - (\frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} \int 2 x^{3} d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{4} (2 \int x^{3} d x)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - 2 (\frac{1}{4}) \int x^{3} d x$

Bước 6.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 2}{4} \int x^{3} d x$

Bước 6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 (- 1)}{4} \int x^{3} d x$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int x^{3} d x$

Bước 6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} + \frac{- 1}{2} \int x^{3} d x$

Bước 6.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} \int x^{3} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\frac{\ln (x^{2}) x^{4}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ ở dạng $\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

Bước 8.2.2

Nhân $\frac{x^{4}}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{4 \cdot 2} + C$

Bước 8.2.3

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{8} + C$

Bước 8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{4} - \frac{1}{8} x^{4} + C$