Giải tích Ví dụ

$(x^{2} - 3) e^{- x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} - 3$ và $g (x) = e^{- x}$ .

$(x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- x$ .

$(x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$(x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$(x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 3.3.3

Viết lại $- 1 (x^{2} - 3)$ ở dạng $- (x^{2} - 3)$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 3.6

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Bước 3.7

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(- x^{2} - - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{2} e^{- x} - - 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Bước 4.3

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Bước 4.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$