Giải tích Ví dụ

$f (x) = 5 x^{2} (x + 47)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2} (x + 47)$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x + 47$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 47$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.3.3

Vì $47$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $47$ đối với $x$ là $0$ .

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.3.4.2

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

Bước 1.3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x + 47$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

Bước 1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

Bước 1.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Bước 1.4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.4.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Bước 1.4.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Bước 1.4.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Bước 1.4.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Bước 1.4.4.5

Nhân $2$ với $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

Bước 1.4.4.6

Nhân $2$ với $47$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

Bước 1.4.4.7

Nhân $94$ với $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

Bước 1.4.4.8

Cộng $5 x^{2}$ và $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $15 x^{2} + 470 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $15$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $15 x^{2}$ đối với $x$ là $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [470 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $470$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $470 x$ đối với $x$ là $470 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$30 x + 470 \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $470$ với $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 470$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $30 x + 470$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $30$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $30 x$ đối với $x$ là $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

Bước 3.2.3

Nhân $30$ với $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $470$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $470$ đối với $x$ là $0$ .

$30 + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $30$ và $0$ .

$f''' (x) = 30$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $30$ .

$30$