Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

Bước 1

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 5 x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Bước 3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Bước 4

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Bước 5

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Bước 6

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Bước 7

Tính giới hạn của $7$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Bước 8

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

Bước 9

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

Bước 10

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Bước 11

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $2$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Bước 11.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Bước 11.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $2$ cho $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Nhân $2$ với $2^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Bước 12.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sqrt{\frac{2^{1 + 2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Bước 12.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{3} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Bước 12.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\sqrt{\frac{8 - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Bước 12.3

Nhân $- 5$ với $2$ .

$\sqrt{\frac{8 - 10 + 7}{2^{2} + 5}}$

Bước 12.4

Trừ $10$ khỏi $8$ .

$\sqrt{\frac{- 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Bước 12.5

Cộng $- 2$ và $7$ .

$\sqrt{\frac{5}{2^{2} + 5}}$

Bước 12.6

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4 + 5}}$

Bước 12.7

Cộng $4$ và $5$ .

$\sqrt{\frac{5}{9}}$

Bước 12.8

Viết lại $\sqrt{\frac{5}{9}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Bước 12.9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.9.1

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Bước 12.9.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Dạng thập phân:

$0.74535599 \dots$