Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ và ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ ra ngoài ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $i$ và $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $i$ khỏi $i$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$r = \frac{1}{3}$

Bước 3

Vì $| r | < 1$ nên chuỗi hội tụ.

Bước 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $1$ cho $i$ vào $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Bước 4.2.3

Kết hợp.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Bước 4.2.4

Nhân $1$ với $1^{0}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1

Nhân $1$ với $1^{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.4.1.1

Nâng $1$ lên lũy thừa $1$ .

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Bước 4.2.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Bước 4.2.4.2

Cộng $1$ và $0$ .

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

Bước 4.2.5

Rút gọn $1^{1}$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

Bước 4.2.6

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Bước 4.2.7

Nhân $2$ với $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Bước 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Bước 6.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Bước 6.2.3

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Bước 6.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

Bước 6.4

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Bước 6.5

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Bước 6.5.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{4}$

Dạng thập phân:

$0.75$