Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 1

Viết $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 4.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 7

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 7.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 7.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 7.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 7.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2.3

Nhân $u^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 11

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$F (x) =$ ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$