Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} + 5$ và $g (x) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Bước 2.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x^{2} + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $1$ .

$(x^{2} + 5) (3 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Bước 2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Cộng $3$ và $0$ .

$(x^{2} + 5) \cdot 3 + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Bước 2.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Bước 2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 2.9

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + 0)$

Bước 2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x)$

Bước 2.10.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) + 2 \cdot (3 x + 1) x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x + 1) x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Bước 3.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân $3$ với $5$ .

$3 x^{2} + 15 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

Bước 3.4.2

Nhân $3$ với $2$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x \cdot x + 2 \cdot 1 x$

Bước 3.4.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x$

Bước 3.4.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x$

Bước 3.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x$

Bước 3.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 \cdot 1 x$

Bước 3.4.7

Nhân $2$ với $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 x$

Bước 3.4.8

Cộng $3 x^{2}$ và $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 15 + 2 x$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 x^{2} + 2 x + 15$