Giải tích Ví dụ

$\ln (x^{2} + 1)$

Bước 1

Viết $\ln (x^{2} + 1)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \ln (x^{2} + 1) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x^{2} + 1)$ và $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $x$ và $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - \int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (x^{2} + 1) x - (2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 8

Chia $x^{2}$ cho $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Bước 8.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Bước 8.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Bước 8.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Bước 8.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Bước 8.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Bước 12

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Bước 12.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Bước 13

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C$ .

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 (x + C - (\arctan (x) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

$\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$

Bước 15

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$F (x) =$ $\ln (x^{2} + 1) x - 2 x + 2 \arctan (x) + C$