Giải tích Ví dụ

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

Bước 1

Vì $\frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x + 9$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x + 9$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $2$ với $- 5$ .

$u_{lower} = - 10 + 9$

Bước 2.3.2

Cộng $- 10$ và $9$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x + 9$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $2$ với $9$ .

$u_{upper} = 18 + 9$

Bước 2.5.2

Cộng $18$ và $9$ .

$u_{upper} = 27$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Kết hợp $u^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 5.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ tại $27$ và tại $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Viết lại $27$ ở dạng $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.4

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.5

Kết hợp $\frac{3}{4}$ và $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.6

Nhân $3$ với $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.7

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Bước 7.2.8

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Bước 7.2.9

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Bước 7.2.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

Bước 7.2.10

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Bước 7.2.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Bước 7.2.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

Bước 7.2.13

Trừ $3$ khỏi $243$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

Bước 7.2.14

Triệt tiêu thừa số chung của $240$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.1

Đưa $4$ ra ngoài $240$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

Bước 7.2.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.14.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

Bước 7.2.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

Bước 7.2.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

Bước 7.2.14.2.4

Chia $60$ cho $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 60$

Bước 7.2.15

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $60$ .

$\frac{60}{3}$

Bước 7.2.16

Triệt tiêu thừa số chung của $60$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.16.1

Đưa $3$ ra ngoài $60$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

Bước 7.2.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.16.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

Bước 7.2.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

Bước 7.2.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{20}{1}$

Bước 7.2.16.2.4

Chia $20$ cho $1$ .

$20$

Bước 8