Giải tích Ví dụ

$y = 12 \sin (w t + π)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Vì $12$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $12 \sin (w t + π)$ đối với $w$ là $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = \sin (w)$ và $g (w) = w t + π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $w t + π$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $w t + π$ .

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $w t + π$ đối với $w$ là $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

Bước 1.3.2

Vì $t$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $w t$ đối với $w$ là $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

Bước 1.3.4

Nhân $t$ với $1$ .

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

Bước 1.3.5

Vì $π$ là hằng số đối với $w$ , đạo hàm của $π$ đối với $w$ là $0$ .

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

Bước 1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Cộng $t$ và $0$ .

$12 \cos (w t + π) t$

Bước 1.3.6.2

Sắp xếp lại các thừa số của $12 \cos (w t + π) t$ .

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $12 t$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $12 t \cos (w t + π)$ đối với $w$ là $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ .

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = \cos (w)$ và $g (w) = w t + π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $w t + π$ .

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $w t + π$ .

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nhân $- 1$ với $12$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $w t + π$ đối với $w$ là $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Bước 2.3.3

Vì $t$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $w t$ đối với $w$ là $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Bước 2.3.5

Nhân $t$ với $1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Bước 2.3.6

Vì $π$ là hằng số đối với $w$ , đạo hàm của $π$ đối với $w$ là $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

Bước 2.3.7

Cộng $t$ và $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

Bước 2.4

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

Bước 2.5

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 12 t^{2}$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ đối với $w$ là $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ là $f' (g (w)) g' (w)$ trong đó $f (w) = \sin (w)$ và $g (w) = w t + π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $w t + π$ đối với $w$ là $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Bước 3.3.2

Vì $t$ không đổi đối với $w$ , nên đạo hàm của $w t$ đối với $w$ là $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ là $n w^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Bước 3.3.4

Nhân $t$ với $1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Bước 3.3.5

Vì $π$ là hằng số đối với $w$ , đạo hàm của $π$ đối với $w$ là $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

Bước 3.3.6

Cộng $t$ và $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

Bước 3.4

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $2$ .

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$