Giải tích Ví dụ

$x^{\frac{2}{3}} (20 - x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ và $g (x) = 20 - x$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [20 - x] + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $20 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.2

Vì $20$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $20$ đối với $x$ là $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- x] + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (- \frac{d}{d x} [x]) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (- 1 \cdot 1) + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot - 1 + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.6.3

Viết lại $- 1 x^{\frac{2}{3}}$ ở dạng $- x^{\frac{2}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{2}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi $2$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Bước 8

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 9

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + (20 - x) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- x^{\frac{2}{3}} + 20 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $20$ và $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{20 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.2

Nhân $20$ với $2$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.3

Kết hợp $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ và $x$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.4

Di chuyển $x^{\frac{1}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Bước 10.2.5

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3}$

Bước 10.2.5.2

Nhân $x^{- \frac{1}{3}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3}$

Bước 10.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3}$

Bước 10.2.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3}$

Bước 10.2.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3}$

Bước 10.2.5.5

Cộng $- 1$ và $3$ .

$- x^{\frac{2}{3}} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Bước 10.2.6

Để viết $- x^{\frac{2}{3}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.7

Kết hợp $- x^{\frac{2}{3}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.9

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.10

Trừ $2 x^{\frac{2}{3}}$ khỏi $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.2.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$