Giải tích Ví dụ

$\cos^{5} (x)$

Bước 1

Viết $\cos^{5} (x)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \cos^{5} (x)$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \cos^{5} (x) d x$

Bước 4

Đưa $\cos^{4} (x)$ ra ngoài.

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Bước 5.2

Viết lại ${\cos (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Bước 7

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 7.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Bước 8

Khai triển ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại ${(1 - u^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Bước 8.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 8.5

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Bước 8.6

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 8.7

Nhân $1$ với $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 8.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 8.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 8.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Bước 8.11

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Bước 8.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Bước 8.13

Cộng $2$ và $2$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Bước 8.14

Trừ $u^{2}$ khỏi $- u^{2}$ .

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Bước 8.15

Sắp xếp lại $- 2 u^{2}$ và $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Bước 8.16

Di chuyển $1$ .

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Bước 11

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Bước 14.2

Rút gọn.

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

Bước 16

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$