Giải tích Ví dụ

$\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1}$ ở dạng ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + x^{2} + x + 1]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + x^{2} + x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 12

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1 + 0)$

Bước 13

Cộng $3 x^{2} + 2 x + 1$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1)$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 14.2

Nhân $3 x^{2} + 2 x + 1$ với $\frac{1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{2 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$