Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Bước 1

Viết $\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Bước 4.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Bước 4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Bước 4.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Bước 4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Bước 4.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

Bước 4.3

Kết hợp $d$ và $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Bước 4.4

Kết hợp $\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ và $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 4.5

Di chuyển $x^{1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

Bước 4.6

Nhân $x^{\frac{3}{2}}$ với $x^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

Bước 4.6.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

Bước 4.6.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Bước 4.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Bước 4.6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

Bước 4.6.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 5

Vì $d$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $d$ ra khỏi tích phân.

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 6.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $d$ .

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$