Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}} d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- x^{- 1} + C - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Bước 8

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- x^{- 1} + C - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Bước 9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Bước 9.2

Di chuyển $x^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Bước 9.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Bước 9.3.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- x^{- 1} + C - 2 \int x^{- 4} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Kết hợp $x^{- 3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Bước 11.1.2

Di chuyển $x^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Bước 11.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{x} - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Bước 11.3.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + \frac{2}{3 x^{3}} + C$