Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\sqrt{x - 3})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x - 3}$ ở dạng ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\arctan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{1 + {(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{1 + {(x - 3)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{1}{1 + x - 3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x - 3$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x - 3$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{{(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 11.3

Di chuyển ${(x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 2} (\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Bước 11.4

Nhân $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Bước 12

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 13

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 14

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} (1 + 0)$

Bước 15

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)} \cdot 1$

Bước 15.2

Nhân $\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)}$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} (x - 2)}$