Giải tích Ví dụ

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$

Bước 1

Viết $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \cos^{2} (\frac{x}{2})$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \cos^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Bước 4

Giả sử $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 4.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Bước 5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\int 2 \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 9.3

Nhân $\int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ với $1$ .

$\int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 12

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 12.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 12.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Bước 13

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 15

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Bước 16

Rút gọn.

$u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Bước 17

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Bước 17.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

Bước 17.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

Bước 18

Kết hợp $2$ và $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Bước 19.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Bước 19.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Bước 20

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \sin (x) + C$