Giải tích Ví dụ

$\int 10 x \sin (5 x^{2} + 2) d x$

Bước 1

Vì $10$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$10 \int x \sin (5 x^{2} + 2) d x$

Bước 2

Giả sử $u = 5 x^{2} + 2$ . Sau đó $d u = 10 x d x$ , nên $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 5 x^{2} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $5 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{2}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$10 x + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $10 x$ và $0$ .

$10 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$10 \int \sin (u) \frac{1}{10} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{10}$ .

$10 \int \frac{\sin (u)}{10} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{10}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{10}$ ra khỏi tích phân.

$10 (\frac{1}{10} \int \sin (u) d u)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{10}$ và $10$ .

$\frac{10}{10} \int \sin (u) d u$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10}{10} \int \sin (u) d u$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sin (u) d u$

Bước 5.3

Nhân $\int \sin (u) d u$ với $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Bước 6

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x^{2} + 2$ .

$- \cos (5 x^{2} + 2) + C$