Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Bước 1

Viết $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Bước 4

Giả sử $u = e^{x} + 1$ . Sau đó $d u = e^{x} d x$ , nên $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = e^{x} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$e^{x}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x} + 1$ .

$\ln (| e^{x} + 1 |) + C$

Bước 7

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

$F (x) =$ $\ln (| e^{x} + 1 |) + C$