Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x^{- 2}}{1 + 3 x^{- 2}}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Bước 3

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Bước 4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 + 3 x^{- 2}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}$

Bước 6.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{5 + 0}{1 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}$

Bước 6.3

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{5 + 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} x^{- 2}}$

Bước 7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 + 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{5 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $5$ và $0$ .

$\frac{5}{1 + 3 \cdot 0}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Bước 9.2.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{5}{1}$

Bước 9.3

Chia $5$ cho $1$ .

$5$