Giải tích Ví dụ

$x^{2} e^{- x}$

Bước 1

Viết $x^{2} e^{- x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Bước 5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Bước 6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Bước 7

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Bước 8

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Bước 10.2

Nhân $\int e^{- x} d x$ với $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Bước 11

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 11.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 11.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 11.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Bước 13

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Bước 14

Viết lại $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ ở dạng $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

Bước 15

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$