Giải tích Ví dụ

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) + 2 x d x$

Bước 1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sin^{2} (x) \cos^{3} (x) d x + \int 2 x d x$

Bước 2

Đưa $\cos^{2} (x)$ ra ngoài.

$\int \sin^{2} (x) (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x + \int 2 x d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x + \int 2 x d x$

Bước 4

Giả sử $u = \sin (x)$ . Sau đó $d u = \cos (x) d x$ , nên $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \sin (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Bước 5

Nhân $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u + \int 2 x d x$

Bước 6.2

Nhân $u^{2}$ với $u^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Bước 6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Bước 6.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u + \int 2 x d x$

Bước 6.3

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u + \int 2 x d x$

Bước 6.4

Viết lại $- 1 u^{4}$ ở dạng $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u + \int 2 x d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u + \int 2 x d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int 2 x d x$

Bước 11

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + 2 \int x d x$

Bước 12

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 13.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 13.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + 1 x^{2} + C$

Bước 13.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + x^{2} + C$

Bước 14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + x^{2} + C$