Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

Bước 3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Làm âm số mũ của $3^{x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân các số mũ trong ${(3^{x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Bước 3.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Bước 3.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

Bước 3.2.2

Nhân $3^{- x}$ với $1$ .

$\int 3^{- x} d x$

Bước 4

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - 3^{u} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int 3^{u} d u$

Bước 6

Tích phân của $3^{u}$ đối với $u$ là $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Bước 7

Viết lại $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

Bước 9

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$