Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) d x$

Bước 3

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Bước 8

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 8.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 9

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Bước 11

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 12

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 14.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 14.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 14.4

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 14.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$