Giải tích Ví dụ

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Bước 1

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Bước 1.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 e^{- 2 x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 1.3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.3.2

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Bước 1.3.3.4

Nhân $- 6$ với $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Bước 2

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Bước 3.2

Cộng $- 6 e^{- 2 x}$ và $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

Bước 4

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = 3 e^{- 2 x}$ là đáp án của $y' + 2 y = 0$