Giải tích Ví dụ

$\ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \ln (y)$ và $g (y) = 1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Bước 2.4

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Bước 2.6

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 2.7

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 y)$

Bước 2.9

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Bước 2.9.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Bước 2.9.3

Kết hợp $\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ và $y$ .

$\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$

Bước 2.9.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4 y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$