Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{2 x^{3}} d x$

Bước 1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{3} - 4 x - 1}{x^{3}} d x$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3} d x$

Bước 3

Khai triển $(x^{3} - 4 x - 1) x^{- 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int (x^{3} - 4 x) x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} \int x^{3} x^{- 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int x^{3 - 3} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.4

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{0} - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.5

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x \cdot x^{- 3} - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 (x^{1} x^{- 3}) - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{1 - 3} - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.8

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.9

Sắp xếp lại $1$ và $- 4 x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} + 1 - 1 x^{- 3} d x$

Bước 3.10

Di chuyển $1$ .

$\frac{1}{2} \int - 4 x^{- 2} - 1 x^{- 3} + 1 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int - 4 x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Bước 5

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- 4 \int x^{- 2} d x + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 1 x^{- 3} d x + \int d x)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - \int x^{- 3} d x + \int d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int d x)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int d x)$

Bước 9.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int d x)$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (- 4 (- x^{- 1} + C) - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + x + C)$

Bước 11

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{x} + \frac{1}{2 x^{2}} + x) + C$