Giải tích Ví dụ

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Bước 3

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Bước 5

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 6.2

Kết hợp $\csc^{2} (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Bước 8

Vì đạo hàm của $- \cot (u)$ là $\csc^{2} (u)$ , tích phân của $\csc^{2} (u)$ là $- \cot (u)$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

Bước 9.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\cot (u)$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

Bước 11

Sắp xếp lại các số hạng.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$