Giải tích Ví dụ

$x + \sqrt{x + 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \sqrt{x + 1}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x + 1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.2.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)$

Bước 1.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)$

Bước 1.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Bước 1.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)$

Bước 1.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)$

Bước 1.2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)$

Bước 1.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)$

Bước 1.2.11

Cộng $1$ và $0$ .

$1 + \frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Bước 1.2.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1$

Bước 1.2.13

Nhân $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $1$ .

$1 + \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.2.14

Di chuyển ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Bước 2.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Bước 2.2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Bước 2.2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Bước 2.2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])))$

Bước 2.2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])))$

Bước 2.2.7

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Bước 2.2.8

Nhân các số mũ trong ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Bước 2.2.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Bước 2.2.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Bước 2.2.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0)))$

Bước 2.2.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0)))$

Bước 2.2.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Bước 2.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0)))$

Bước 2.2.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0)))$

Bước 2.2.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0)))$

Bước 2.2.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0)))$

Bước 2.2.14

Cộng $1$ và $0$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1))$

Bước 2.2.15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1))$

Bước 2.2.16

Nhân $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Bước 2.2.17

Di chuyển ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- {(x + 1)}^{- 1} \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 2.2.18

Kết hợp $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và ${(x + 1)}^{- 1}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{{(x + 1)}^{- 1}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Bước 2.2.19

Di chuyển ${(x + 1)}^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)})$

Bước 2.2.20

Nhân ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $x + 1$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.20.1

Di chuyển $x + 1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Bước 2.2.20.2

Nhân $x + 1$ với ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.20.2.1

Nâng $x + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Bước 2.2.20.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Bước 2.2.20.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Bước 2.2.20.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Bước 2.2.20.5

Cộng $2$ và $1$ .

$0 + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Bước 2.2.21

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$0 - \frac{1}{2 (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Bước 2.2.22

Nhân $2$ với $2$ .

$0 - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 2.3

Trừ $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ khỏi $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

Bước 3.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ ở dạng ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Bước 3.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Bước 3.1.2.2.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Bước 3.1.2.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

Bước 3.1.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.6.2

Trừ $2$ khỏi $- 3$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.7.2

Kết hợp ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ và $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.7.3.2

Di chuyển ${(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (- \frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.7.3.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.7.3.4

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 3.7.4

Nhân $\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} \cdot 4} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.7.5

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 3.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} (1 + 0)$

Bước 3.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 1$

Bước 3.11.2

Nhân $\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ với $1$ .

$f''' (x) = \frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Vì $\frac{3}{8}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{8 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ đối với $x$ là $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

Bước 4.1.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Viết lại $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ ở dạng ${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Bước 4.1.2.2

Nhân các số mũ trong ${({(x + 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Bước 4.1.2.2.2

Nhân $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Bước 4.1.2.2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

Bước 4.1.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + 1$ .

$\frac{3}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.6.2

Trừ $2$ khỏi $- 5$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2} {(x + 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.7.2

Kết hợp ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ và $\frac{5}{2}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.7.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.3.1

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.7.3.2

Di chuyển ${(x + 1)}^{- \frac{7}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{8} (- \frac{5}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Bước 4.7.4

Nhân $\frac{3}{8}$ với $\frac{5}{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{8 (2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.7.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.5.1

Nhân $3$ với $5$ .

$- \frac{15}{8 (2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.7.5.2

Nhân $2$ với $8$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 4.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 4.10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} (1 + 0)$

Bước 4.11

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Cộng $1$ và $0$ .

$- \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 1$

Bước 4.11.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}$