Giải tích Ví dụ

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Sau đó $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\sin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Bước 1.1.4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

Bước 1.1.4.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

Bước 1.1.4.3.3

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ .

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

Bước 2

Kết hợp ${u_{3}}^{4}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{4}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $2$ với $5$ .

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$