Giải tích Ví dụ

$3^{x} + 2021$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3^{x} + 2021$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ .

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $3$ .

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2021$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2021$ đối với $x$ là $0$ .

$3^{x} \ln (3) + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $3^{x} \ln (3)$ và $0$ .

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\ln (3)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3^{x} \ln (3)$ đối với $x$ là $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $3$ .

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

Bước 2.3

Nâng $\ln (3)$ lên lũy thừa $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

Bước 2.4

Nâng $\ln (3)$ lên lũy thừa $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

Bước 2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

Bước 2.6

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\ln^{2} (3)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3^{x} \ln^{2} (3)$ đối với $x$ là $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $3$ .

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

Bước 3.3

Nhân $\ln^{2} (3)$ với $\ln (3)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển $\ln (3)$ .

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Bước 3.3.2

Nhân $\ln (3)$ với $\ln^{2} (3)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nâng $\ln (3)$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Bước 3.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

Bước 3.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ .

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$