Giải tích Ví dụ

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Bước 1

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Bước 1.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 1.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Bước 1.3.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Bước 1.3.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Bước 1.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 e^{2 x}$

Bước 2

Tìm $y''$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập đạo hàm.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Bước 2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{2 x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Nhân $2$ với $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Bước 2.8

Nhân $4$ với $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Bước 3

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Bước 4

Cộng $2 e^{2 x}$ và $4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Bước 5

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = e^{2 x}$ là đáp án của $y' + y'' = 6 e^{2 x}$