Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

Bước 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Bước 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\frac{4}{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ và ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Đưa ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ ra ngoài ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Bước 2.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.2.1

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Bước 2.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Bước 2.2.2.2.4

Chia ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ cho $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Bước 2.2.3

Cộng $i$ và $0$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

Bước 2.2.5

Trừ $i$ khỏi $i$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

Bước 2.2.6

Cộng $0$ và $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$r = \frac{7}{6}$

Bước 3

Kiểm tra xem chuỗi hội tụ hay phân kỳ.

Vì $| r | \geq 1$ nên chuỗi phân kỳ.