Giải tích Ví dụ

$\int x (2 x^{2} + 1) d x$

Bước 1

Giả sử $u = 2 x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 4 x d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4 x$ và $0$ .

$4 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int u \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $u$ và $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Bước 5.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{8} {(2 x^{2} + 1)}^{2} + C$