Giải tích Ví dụ

$\frac{x - 1}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{x - 1}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{- 2} d x$

Bước 5

Nhân $(x - 1) x^{- 2}$ .

$\int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $x$ với $x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.1.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.2

Viết lại $- 1 x^{- 2}$ ở dạng $- x^{- 2}$ .

$\int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Bước 8

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int - x^{- 2} d x$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| x |) + C - \int x^{- 2} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |) + C - (- x^{- 1} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C$

Bước 11.2.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $1$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$

Bước 12

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x - 1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{x} + C$